[제어공학개론] Lec 13 - Stability

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본 게시글은 서울대학교 심형보 교수님의 23-2 제어공학개론 수업 내용을 바탕으로 작성되었습니다.

Types of Stability

• Lyapnov Stability (for autonomus stability) $\dot x = Ax$
• Input/Output Stability

\[\dot x = Ax + Bu\] \[y = Cx+Du\]

or $G(s)$ (Input, output이 defined 된)

Lyapnov Stability

Lyapnov stability는 stability 판별의 대상이 system 전체가 아닌 특정 equibrilium point임.

for linear system, $\dot x = Ax = 0$에서 equibrilium point는 $(0,0)$ 하나만 존재함. ($\det A \neq 0$)

그런 이유에서 linear system에서는 Lyapnov stability가 system 전체에 대한 stability로 간주되기도 함.

but multiple equibrilium point가 존재할 수 있는 non-linear system에서는 각 point에 대한 stability를 의미.

Definition of Lyapnov Stability Criterion :

\[\begin{aligned} x^* &\text{ is stable if } \\ \text{for any } \epsilon &> 0, \text{ there exists } \delta > 0 \\ \text{such that } ||x(0) - x^*|| &< \delta, \quad ||x(t) - x^*|| < \epsilon, \forall t > 0 \end{aligned}\]

Definition of Attractive Point :

\[x^* \text{is attractive if } \lim\limits_{t\rightarrow \infty } x(t) = x^*\]

Stable + Attractive Equiv Point : Asymptotically Stable

Q. Stable하지 않으나, Attractive한 Point가 존재하는가? : (O)

특수한 비선형 system을 생각할 수 있음. 무조건 한바퀴를 돌고 수렴하는 아이를 생각할 수 잇음.

입실론 델타 조건에 벗어나므로..

stable, not attractive는 존재. 계속 round 주위를 도는 것

Asymptotically Stable $\leftrightarrow A \text { Hurwitz}$

eigenvalue들이 모두 음수에 있다는 것은 결국 0으로 죽어나간다는 것을 의미하므로 attractivity는 쉬움 stability 또한 norm을 취하여 보이면 점점 그 크기가 줄어 원점으로 수렴한다는 것을 알 수 있음.

Lyapnov Equation

Lyapnov Equation을 만족하는 $A$는 asymptotically stable

\[\begin{aligned}\forall &Q > 0, \exists P > 0 \text{ s.t.} \\&A^T P + PA = -Q\end{aligned}\]

Linear equation이며, $P$는 symmetric(positive definite이려면) 하므로 미지수는 3개.

$A$의 C.P를 풀어서 Pole의 real part를 직접 계산하는 것 보다 Lyapnov Equation을 계산하는 것이 컴퓨터가 더 쉬워함.

Physical meaning

Lyapnov Function

\[\begin{aligned}V(x) &:= x^T P x, \quad P > 0 \\V(0) &= 0 \\V(x) &> 0, \quad x \neq 0\end{aligned}\]

state transition matrix V (orthonormal matrix)를 고려

\[\begin{aligned}Vz &= x \\x^T P x = z^T d^T P V z &= z^T D z = \sum_{i=1}^n \lambda_i z_i^2\end{aligned}\]

이를 평면에 그려보면 ellipse 형태를 띄게 됨.

\[\begin{aligned}\frac{d}{dt} V(x(t)) &< 0 \\&= \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\&= x^T A^T P x + x^T P A x \\&= x^T (A^T P + PA) x = -x^T Q x < 0 \\\because & \, Q > 0\end{aligned}\]

즉 $V(x)$는 결국 0이 됨.

Analytic Solution of P

$P = \displaystyle\int_0^\infty e^{A^T s} Q e^{As}ds$

\[\begin{aligned}A^T P + PA &= \int_0^\infty A^T e^{A^T s} Q e^{As} + e^{A^T s} Q e^{As} A \, ds \\&= \int_0^\infty \frac{d}{ds}(e^{A^T s} Q e^{As}) \, ds \\&= \bigg[e^{A^T s} Q e^{As}\bigg]_0^\infty = -Q \\s &\rightarrow \infty, \text{ value } \rightarrow 0 \quad \because \text{ Hurwitz} \\s &\rightarrow 0, \quad e^{A \cdot 0} = I\end{aligned}\]

어차피 Arbitary $Q>0$에 대한 것이므로 $Q$를 지우고 다음과 같이 표현가능

\[A^T P + PA <0\]

(Negative Definite)

BIBO Stability

입력 $u(t)$가 Bounded일 때 출력 $y(t)$가 항상 Bounded이면 이를 BIBO Stable이라 한다.

System is BIBO stable $\leftrightarrow \text{A is Hurwitz}$

pf )

\[\begin{aligned}||y(t)|| &= ||Ce^{At}x_0 + C\int_0^t e^{A(t-s)}Bu(s) \, ds|| \\&\leq ||Ce^{At}x(0)|| + ||C|| \int_0^t k e^{\lambda_{\text{max}}(t-s)} ||B|| \, ds \cdot \max_t ||u(t)|| \\&= \text{(Converge) + (Converge) + Bounded Input}\end{aligned}\]

Principle eigenvalue at matrix exponent

\[\begin{aligned}||e^{At}|| &\leq k e^{\lambda_{\text{max}} t} \\k &\neq 1 \\\lambda_{\text{max}} &= \max \text{Re}(\lambda_i(A))\end{aligned}\]