[제어공학개론] Lec 08 - Phase portrait and Jordan form

📢Precaution

본 게시글은 서울대학교 심형보 교수님의 23-2 제어공학개론 수업 내용을 바탕으로 작성되었습니다.

Symmetric matrix -> E.vectors are orthogonal

Proof)

\[\begin{aligned} Av_i &=\lambda_i v_i \text{(i=1 to n)} \\ \text{if }\lambda_i &\neq \lambda_j \\ Av_i &= \lambda_i v_i \\ v_j^T Av_i &= \lambda_i v_j^T v_i \\ (v_j^T A) v_i &= (Av_j) v_i = \lambda_jv_j^T v_i \\ \text{for } \lambda_iv_j^T v_i &= \lambda_j v_j^T v_i \\ \therefore v_j^T v_i = 0 &\rightarrow v_j \perp v_i \end{aligned}\]

즉 $A^T=A$인데, geometric mulitplicity >1이면, a.m=g.m이며, 해당 $\lambda_i$에 대한 $dim(N(\lambda_i I -A))=\text{a.m}$으로 악의적이지 않다면, orthogonal한 basis를 잡을 수 있음.

결론적으로 symmetric matrix에서는 multiplicity에 관계없이 $n$개의 eigenvector를 모두 orthogonal하게 뽑을 수 있음.

orthogonal하게 뽑을 수 있다는 뜻은, orthonormal하게 뽑을 수 있다는 뜻. ($\Vert v_i\Vert_2 = 1$)

orthonormal matrix: $V^T = V^{-1}$ ($\because v_i^Tv_i = 1, v_i^Tv_j=0 (i\neq j)$)

한편 diagonalization을 고려해보면, $V^{-1}$ 대신 $V^T$을 사용한다는 것은,굉장히 computation time을 절약할 수 있는 방법.

\[D = V^TAV\]

Phase Portrait

Phase보다는 State portrait으로 표현하는 것이 더 의미적으로 가치 있음.

Phase portrait은 state들을 축으로 하는 공간에 state들을 표시하고 연결한 것.

Time에 대한 정보가 없음.

평형점 : $\dot x = f(x)=0$ 인 지점, 수렴?하는점

서로 다른 line들은 서로 intersect하지 않음. (한 점에서 교차한다는 것은, 해의 유일성이 보장된 linear system에 모순 되는 부분.)

Simularity transform and phase portrait

simularity transform

\[\begin{aligned} \dot x &= Ax \\ T &= V^{-1} \\ \dot z &= TAT^{-1} z = [\lambda_i z_i] \\ \text{solution : } z_i &= e^{\lambda t} z_i(0) \end{aligned}\]

변환된 결과로 원래의 state를 표현해보자

\[\begin{aligned} x(t) &= T^{-1}z = Vz \\ &= z_1(t)v_1 + \cdots+z_n(t) v_n \\ &= z_1(0)e^{\lambda_1t}v_1 +\cdots +z_n(0)e^{\lambda_nt}v_n \end{aligned}\]

Phase portrait에서 보았을 때 $v_1, v_2 \cdots, v_n$의 방향은 eigenvector들이 결정,

그 진폭(값)은 initial value들과 eigenvalue에 의해 결정됨.

$z_i(0)$ (initial condition) = 0 : not excited, $\neq$ 0 : excited

how to make system controllable

for open loop system : $\dot x = Ax+Bu$

if u is proportional to x : $u=kx$

$\dot x = (A+Bk)x$ : closed loop system

$A+Bk$가 좋은 성질을 가지면 (eigenvalues or matrix are in good position) .. 제어하기 편함

Jordan form

to controll system which has A (not diagonalizable matrix)

\[\begin{aligned} AV&= VJ \\ J &= \begin{bmatrix}J_1 & & \\ & \ddots & \\ & & J_p\end{bmatrix} \\ J_i &= \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & \; & \; \\ \; & \lambda_i & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \lambda_i \end{bmatrix} \end{aligned}\]

example :

\[\begin{aligned} \text{let } J &= \begin{bmatrix}\lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & 1 \\ & & \lambda_3\end{bmatrix} \\ V^{-1} A V &= J \\ Av_1 &= \lambda_1 v_1 \\ Av_2 &= \lambda_2 v_2 \\ Av_3 &=\lambda_2 v_3 + v_2 \neq \lambda_3 v_3 \\ \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \dot z &= J z \\ \dot z_1&= \lambda_1 z_1 \\ \dot z_2 &= \lambda_2 z_2 + z_3 \\ \dot z_3 &= \lambda_2 z_3 \\ (A-\lambda_2 I) v_3 &= v_2 \\ \end{aligned}\]

$v_3$ : generalized eigenvector

solve for $z_2$ :

\[\dot z_2 = \lambda_2 z_2 + z_3 \\\]

consider $z_3$ as input of system

\[\begin{aligned} z_2 &= e^{\lambda_2 t} z_2(0) + \int_0^t e^{\lambda_2(t-\tau)} \cdot 1 \cdot z_3(\tau)d\tau \\ \text{also, } z_3 &= z_3(0)e^{\lambda_2 t} \\ z_2 &= e^{\lambda_2 t} z_2(0) + \int_0^t e^{\lambda_2(t-\tau)}z_3(0)e^{\lambda_2 \tau}d\tau \\ &= e^{\lambda_2 t} z_2(0) + \int_0^t e^{\lambda_2 t} z_3(0) d\tau \\ &= e^{\lambda_2 t} z_2(0) + te^{\lambda_2 t}z_3(0) \\ &= [z_2(0)+tz_3(0)]e^{\lambda_2t} \end{aligned}\]

그렇다면 pole이 중첩될 때는 발산할까? : no. $R(\lambda_2)<0$이면, exponential이 더 빠르게 증가하므로 수렴함.

실제 controll에서 중첩이 생겨 Jordan form을 쓰는 경우가 있는가?

$det(\lambda_i I -A) = 0$ 에서 small purturbation이 생겨도 중첩이 깨지게 됨. 즉 물리적 측정값을 대입하여 결정되는 A의 경우 의도적으로 맞추는게 아니라면 무조건 중첩이 깨지게 됨 (full rank)

if $T(s) = \displaystyle \frac{1}{s^2}$ 와 같은 integrator 같이, 설계자가 그 구조를 결정하는 경우에는 안깨지는 중첩이 생기게 됨.

• Q. Transfer function을 통해 구해지는 $x(t)$에서는 pole이 중첩될 경우 무조건 $t$가 붙어서 도출되나, $A$의 성질을 이용하여 계산되는 $x(t)$에서는 diagonalizability에 따라 $t$가 붙을 수도 있고 안붙을 수도 있음. (diagonalizable 하면 $n$ distinct한 eigenvector가 생기므로 안붙음) 어떠한 조건에서 이게 붙고 안붙냐?
• A. Transfer function : $T(s) = C(sI-A)^{-1}B$
• 이 때 transfer function에서 추가로 붙는 C와 B가 t가 안붙었다 하더라도 무조건 붙게 만들게 됨.