[신호처리] Lec 01 - Signal

Precaution

본 게시글은 서울대학교 이종호 B 교수님의 SNU FastMRI Challange, 2021 Signal Processing을 바탕으로 제작되었습니다.

Definition, Preliminaries

Signal

독립 변수의 함수

examples of signal :

• 1D signal : $y=f(t)$

• 2D signal : $f(x, y)=k$

  $(x,y)$ can be position

  $k$ can be brightness of the pixel

• 일반적인 이미지(eg. 점묘화) : ( $W\times H \times 3$ Matrix. RGB 각각의 밝기)

Frequency

1초간 진동 횟수

Fourier Transform

Convert signal to frequency domain(spectrum)

Fourier Transform of an image

if Fourier transform applied to image, we get K-space data.

kspace data of the image

읽는 법은 잘 생각해보면 어렵지 않음. 가운데 지점은 constant이고, arbitary point를 잡았을 때 center를 시점으로 하는 vector의 방향으로 vector의 크기만큼의 Frequency를 가진 점의 밝기 만큼의 amplitude(밝기)의 wave임.

이런식으로 모든 점에 대응되는 wave를 겹치게 되면 grayscale의 원본 이미지를 얻을 수 있음.

distance from the center is proportional to frequency, while direction decides the angle

• spatially varying…
• Sampling, Alising
• CT, DT, Digital

Continuous time signal을 Sampling, Indexing 한 것이 Discrete time domain signal. 이후 quantization(결과값 혹은 함수값의 discrete화)한 것이 Digital signal.

• Indexing : integer index에서만 값이 존재.

Frequently used signals

• Complex exponential :

\[e^{j\cdot 2\pi f_0 t} = \cos{2\pi f_0 t} + j\sin{2\pi f_0 t}\]

• Rotation : increasing t에 따라 반시계 방향으로 회전. Re, Im 축으로 proj 했을 때는 cos/sin의 sinusodial wave

• Dirac’s Delta :

  Continuous domain에서는 2가지 property를 만족해야 함.

1. Definition

\[\delta (t) = \begin{cases} \infty &\text{if } t=0 \\ 0 &\text{if } \text{elsewise}\end{cases}\]

1. Area

\[\int_{-\infty}^\infty \delta (t) dt = 1\]

• Discrete Time domain 에서의 dirac’s delta는 더 쉽게 정의됨. 0일 때 1, 나머지일 때 0

• Most important property of Dirac’s delta function

  for arbitary $x(t)$,

\[x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t)\]